고등 수학을 시작할 때 가장 기본으로 외우고 들어가는 공식이 곱셈 공식입니다.
기본 곱셈 정리는 제곱으로 시작합니다.
그리고 이를 변형시켜 세제곱, 때론 네제곱까지 하게 됩니다.
곱셈 공식을 자유자재로 변형시켜 활용하기 위해서는 기본 곱셈 공식부터 암기하시는 것이 좋습니다.
이외의 공식들은 치환을 통해 계산이 가능하기 때문에 기본 곱셈 공식들을 꼼꼼하게 외우는 것을 우선으로 해주세요.
세제곱 곱셈 공식은 기본 곱셈 공식보다 길고 약간 헷갈립니다.
하지만 규칙성이 있으니 아래 기본 곱셈 공식과 세제곱 곱셈공식들의 증명을 참고해 주세요.
기본 곱셈공식 오리지널 ver. 증명
① (a+b)²
=(a+b)×(a+b)
=a(a+b)+b(a+b)
=a²+ab+ab+b²
=a²+2ab+b²
② (a-b)²
=(a-b)×(a-b)
=a(a-b)-b(a-b)
=a²-ab-ab+b²
=a²-2ab+b²
③ (a+b+c)²
=(a+b+c)×(a+b+c)
=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)
=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
④ (a+b)×(a-b)
=a(a-b)+b(a-b)
=a²-ab+ab-b²
=a²-b²
세제곱 곱셈공식 오리지널 ver. 증명
① (a+b)³
=(a+b)×(a+b)²
=(a+b)×(a²+2ab+b²)
=a(a²+2ab+b²)+b(a²+2ab+b²)
=a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³
=a³+3a²b+3ab²+b³
② (a-b)³
=(a-b)×(a-b)²
=(a-b)×(a²-2ab+b²)
=a(a²-2ab+b²)-b(a²-2ab+b²)
=a³-2a²b+ab²-a²b+2ab²-b³
=a³-3a²b+3ab²-b³
③ (x+a)(x+b)(x+c)
=(x+a)(x+b)×(x+c)
={x²+(a+b)x+ab}×(x+c)
=x{x²+(a+b)x+ab}+c{x²+(a+b)x+ab}
=x³+(a+b)x²+(ab)x+cx²+(ac+bc)x+abc
=x³+(a+b+c)x²+(ab+bc+ac)x+abc
④ (x-a)(x-b)(x-c)
=(x-a)(x-b)×(x-c)
={x²-(a+b)x+ab}×(x-c)
=x{x²-(a+b)x+ab}-c{x²-(a+b)x+ab}
=x³-(a+b)x²+(ab)x-cx²+(ac+bc)x-abc
=x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ac)x-abc